lunes, 25 de octubre de 2010

My contributions to Prime Curios

Here are my contributions to Prime curios


11  : The smallest prime which when sandwiched between a two-digit repdigit gives a multiple of 11. In other words 1111, 2112, 3113, 4114, 5115, 6116, 7117, 8118, and 9119 are multiples of 11.


23   : 23 = -22 + 33


43   : 43 =  42 + 33


97   : 97 and its double (194) and triple (291) use the same number of characters (five) when expressed in Roman numerals: XCVII, CXCIV, and CCXCI.


109  : The smallest non-trivial prime that is the sum of the reversal of two consecutive primes (109 = R(47) + R(53) = 74 + 35).


239  : 1+3+5+7+....+237+239 = 239+241+243+...+335+337. Note that 239 and 337 are both primes.


251 : The 251st Fibonacci number (F251) has a sum of digits equal to 251. The two smaller prime numbers with this property are 5 and 31


269  : The 269th day of a non-leap year is 26 September (26/9)


617  : 617 = 1!2 + 2!2 + 3!2 + 4!2


991  : 9912 = 982081 and 982 + 0 + 8 + 1 = 991.


1009 : The sum of digits of 1009 is a substring of itself and of its square.


1201  12012 = 601+602+603...+1799+1800+1801. With 1201, 601, and 1801 each being prime


1669 : 16692 = 2785561, and 278 * (5/5) * 6 + 1 = 1669


1669 : The smallest prime  that appears in the same position of its own value when the Roman numerals  (from 1 to 3999) are placed in lexicographic order. The other primes with this property are 3623 and 3631


4027  40275 = 33015 + 31695 + 30375 + 24115 + 14815 + 8595 + 5695. Note that all base numbers and exponents are prime. Found by Takao Nakamura.


4561  : The digits of 4561 (abcd) produce a distinct nine-digit product in the following expression: (a+b+c+d)(ab+cd)(a+bcd)(abc+d)


6833 : 68332 = 46689889, and 4 * 6 + 6898 - 89 = 6833.


8209 : 82093 = 553185473329, and 52 + 52 + 32 + 12 + 852 + 42 + 72 + 32 + 32 + 292 = 8209.


12637 : The smallest prime such that the differences between the 5 consecutive primes starting with it   are (4,6,6,6): 12637, 12641, 12647, 12653, 12659.


15017 : 15017 = 1!2+2!2+3!2+4!2+5!2


17783 : The smallest prime which is the sum of two, three, four, and five consecutive composite  numbers:
17783 = 8891 + 8892 = 5926 + 5928 + 5929 = 4444 + 4445 + 4446 + 4448 =
3554 + 3555 + 3556 + 3558 + 3560.


28567 : is the smallest prime, which is a Fibonacci number (F(23)prime) and an anagram of a triangular number (67528 = T(367)prime).


41579 : is the only prime p, such that p and p expressed in some base < 10, taken together are   pandigital. 41579 = 63028 in base 9.


38981039 : The smallest number whose square begins and ends with the same seven digits: 389810392 = 1519521401519521.


989450477 : The log730 (989450477) starts out equal to the first dozen digits of pi.


298999999999 : The smallest prime with sum of digits equal to 100.

sábado, 2 de octubre de 2010

Primes in arithmetic progression, such one is a permutation of the other

Look at 1487, 4817 and 8147. 
They are three primes with the same digits, one is a permutation of the other, and are in arithmetic progression with a common difference of 3300.  

Another examples:

Common difference, first term, second term and last term
3330    1487     4817     8147
3330     2969    6299     9629
3330     11483    14813    18143
30222    11497    41719    71941
504       12713    13217    13721
4500    12739    17239    21739
4500    12757    17257    21757
4500    12799    17299    21799
33300    14821    48121    81421
16650    14831    31481    48131
32292    14897    47189    79481
33300    18503    51803    85103
33300    18593    51893    85193
15948    19543    35491    51439
450    20161    20611    21061
4950    20353    25303    30253    35203*
4950    20359    25309    30259    35209*
3330    20747    24077    27407
4500    23887    28387    32887
27720    25087    52807    80527
33480    25793    59273    92753
13608    25913    39521    53129
33300    25981    59281    92581
4950    26317    31267    36217
33030    26597    59627    92657
450    28933    29383    29833
33300    29669    62969    96269
3330    31489    34819    38149
8352    31489    39841    48193
30330    32969    63299    93629
4500    34961    39461    43961
4950    35407    40357    45307
4050    35491    39541    43591
17946    35671    53617    71563
14076    37561    51637    65713
4950    49547    54497    59447
450    55603    56053    56503
3330    60373    63703    67033    70363*
4950    60757    65707    70657    75607*
3330    61487    64817    68147
3330    62597    65927    69257
4950    62773    67723    72673    77623*
450    63499    63949    64399
450    67829    68279    68729
9450    68713    78163    87613
2772    71947    74719    77491
5004    73589    78593    83597
450    76717    77167    77617
4950    76819    81769    86719
5238    78941    84179    89417
8910    80191    89101    98011
4950    83987    88937    93887    98837 (all primes)
4950    88937    93887    98837
4500    89387    93887    98387
450    92381    92831    93281


*the last term is not prime

domingo, 5 de septiembre de 2010

Primitive Pythagorean triples with hypotenuse < 1000

Primitive Pythagorean triples with hypotenuse < 1000

y,x C,B,A y,x C,B,A y,x C,B,A y,x C,B,A
2,1 3,4,5 3,2 5,12,13 4,1 15,8,17 4,3 7,24,25
5,2 21,20,29 5,4 9,40,41 6,1 35,12,37 6,5 11,60,61
7,2 45,28,53 7,4 33,56,65 7,6 13,84,85 8,1 63,16,65
8,3 55,48,73 8,5 39,80,89 8,7 15,112,113 9,2 77,36,85
9,4 65,72,97 9,8 17,144,145 10,1 99,20,101 10,3 91,60,109
10,7 51,140,149 10,9 19,180,181 11,2 117,44,125 11,4 105,88,137
11,6 85,132,157 11,8 57,176,185 11,1 21,220,221 12,1 143,24,145
12,5 119,120,169 12,7 95,168,193 12,1 23,264,265 13,2 165,52,173
13,4 153,104,185 13,6 133,156,205 13,8 105,208,233 13,1 69,260,269
13,1 25,312,313 14,1 195,28,197 14,3 187,84,205 14,5 171,140,221
14,9 115,252,277 14,1 75,308,317 14,1 27,364,365 15,2 221,60,229
15,4 209,120,241 15,8 161,240,289 15,1 29,420,421 16,1 255,32,257
16,3 247,96,265 16,5 231,160,281 16,7 207,224,305 16,9 175,288,337
16,1 135,352,377 16,1 87,416,425 16,2 31,480,481 17,2 285,68,293
17,4 273,136,305 17,6 253,204,325 17,8 225,272,353 17,1 189,340,389
17,1 145,408,433 17,1 93,476,485 17,2 33,544,545 18,1 323,36,325
18,5 299,180,349 18,7 275,252,373 18,1 203,396,445 18,1 155,468,493
18,2 35,612,613 19,2 357,76,365 19,4 345,152,377 19,6 325,228,397
19,8 297,304,425 19,1 261,380,461 19,1 217,456,505 19,1 165,532,557
19,2 105,608,617 19,2 37,684,685 20,1 399,40,401 20,3 391,120,409
20,7 351,280,449 20,9 319,360,481 20,1 279,440,521 20,1 231,520,569
20,2 111,680,689 20,2 39,760,761 21,2 437,84,445 21,4 425,168,457
21,8 377,336,505 21,1 341,420,541 21,2 185,672,697 21,2 41,840,841
22,1 483,44,485 22,3 475,132,493 22,5 459,220,509 22,7 435,308,533
22,9 403,396,565 22,1 315,572,653 22,2 259,660,709 22,2 195,748,773
22,2 123,836,845 22,2 43,924,925 23,2 525,92,533 23,4 513,184,545
23,6 493,276,565 23,8 465,368,593 23,1 429,460,629 23,1 385,552,673
23,1 333,644,725 23,2 273,736,785 23,2 205,828,853 23,2 129,920,929
24,1 575,48,577 24,5 551,240,601 24,7 527,336,625 24,1 455,528,697
24,1 407,624,745 24,2 287,816,865 24,2 215,912,937 25,2 621,100,629
25,4 609,200,641 25,6 589,300,661 25,8 561,400,689 25,1 481,600,769
25,1 429,700,821 25,2 369,800,881 25,2 301,900,949 26,1 675,52,677
26,3 667,156,685 26,5 651,260,701 26,7 627,364,725 26,9 595,468,757
26,1 555,572,797 26,2 451,780,901 26,2 387,884,965 27,2 725,108,733
27,4 713,216,745 27,8 665,432,793 27,1 629,540,829 27,1 533,756,925
27,2 473,864,985 28,1 783,56,785 28,3 775,168,793 28,5 759,280,809
28,9 703,504,865 28,1 663,616,905 28,1 615,728,953 29,2 837,116,845
29,4 825,232,857 29,6 805,348,877 29,8 777,464,905 29,1 741,580,941
29,1 697,696,985 30,1 899,60,901 30,7 851,420,949 31,2 957,124,965
31,4 945,248,977 31,6 925,372,997


A = x2+y 2
B = larger of y2-x2 and 2xy
C = smaller of y2-x2 and 2xy

lunes, 26 de julio de 2010

Introducción: 
Los cuadrados mágicos han fascinado a la gente durante muchísimos años y son bien conocidos por todos los aficionados a los juegos matemáticos. Son grillas de n x n en la que se colocan n2  números de forma tal que todas las columnas, filas y diagonales sumen lo mismo. A la suma se la llama constante mágica.
Los que no son tan conocidos son los cuadrados alfamágicos. Estos fueron ideados por Lee Sallows  de la Universidad de Nijmegen de Holanda en 1986. Un cuadrado alfamágico es un cuadrado mágico en el que si tomamos la cantidad de letras de los nombres de cada número de dicho cuadrado mágico y los colocamos en otro cuadrado generamos a su vez otro cuadrado mágico

Sallows, L. C. F. "Alphamagic squares." Abacus 4 (No. 1): 28-45, 1986.
Sallows, L. C. F. "Alphamagic squares, part II". Abacus 4 (No. 2): 20-29, 43, 1987

Por ejemplo en inglés :


5
(five)
22
(twenty-two)
18
(eighteen)
28
(twenty-eight)
15
(fifteen)
2
(two)
12
(twelve)
8
(eight)
25
(twenty-five)

Que genera el siguiente cuadrado mágico :


4
9
8
11
7
3
6
5
10

Existen muchísimos cuadrados alfamágicos en muchísimos idiomas y de varios ordenes. En español habían aparecido ya en la revista El Acertijo que actualmente se puede leer online gracias al gran trabajo de Markelo. En el siguiente link del El Acertijo 5 página 12 aparecen unas soluciones dadas por Roberto Pozzi para cuadrados alfamágicos de orden tres, cuatro y cinco en español.
La solución que aparece en la revista para el de orden tres es un cuadrado alfamágico en el que el segundo cuadrado si bien es mágico tiene números repetidos. Yo busqué cuadrados alfamágicos que no tuvieran números repetidos
Cuadrados alfamágicos con números consecutivos:
En muchos libros y revistas toman como válidos solo a los cuadrados mágicos que tienen números consecutivos, aquí están los que encontré en español (que si bien el primer cuadrado no tiene números consecutivos, si los tiene el segundo ):

A)

2281
Dos mil doscientos ochenta y uno
241
Doscientos cuarenta y uno
1321
Mil trescientos veintiuno
321
Trescientos veintiuno
1281
Doscientos ochenta y uno
2241
Dos mil doscientos cuarenta y uno
1241
Mil doscientos cuarenta y uno
2321
Dos mil trescientos veintiuno
281
Doscientos ochenta y uno



27
22
23
20
24
28
25
26
21


B)

2581
Dos mil quinientos ochenta y uno
241
Doscientos cuarenta y uno
1921
.Mil novecientos veintiuno
921
Novecientos veintiuno
1581
Mil quinientos ochenta y uno
2241
Dos mil doscientos cuarenta y uno
1241
Mil doscientos cuarenta y uno
2921
Dos mil novecientos veintiuno
581
Quinientos ochenta y uno


27
22
23
20
24
28
25
26
21

C)


2571
Dos mil quinientos setenta y uno
421
Cuatrocientos veintiuno
1721
Mil setecientos veintiuno
721
Setecientos veintiuno
1571
Mil quinientos setenta y uno
2421
Dos mil cuatrocientos veintiuno
1421
Mil cuatrocientos veintiuno
2721
Dos mil setecientos veintiuno
571
Quinientos setenta y uno



27
22
23
20
24
28
25
26
21

D)


2761
Dos mil setecientos sesenta y uno
581
Quinientos ochenta y uno
1941
Mil novecientos cuarenta y uno
941
Novecientos cuarenta y uno
1761
Mil setecientos sesenta y uno
2581
Dos mil quinientos ochenta y uno
1581
Mil quinientos ochenta y uno
2941
Dos mil novecientos cuarenta y uno
761
Setecientos sesenta y uno



28
21
26
 23
25
27
 24
29
22

E)


2641
Dos mil seiscientos cuarenta y uno
331
Trescientos treinta y uno
1951
Mil novecientos cincuenta y uno
951
Novecientos cincuenta y uno
1641
Mil seiscientos cuarenta y uno
2331
Dos mil trescientos treinta y uno
1331
Mil trescientos treinta y uno
2951
Dos mil novecientos cincuenta y uno
641
Seiscientos cuarenta y uno



29
22
27
 24
26
28
 25
30
23

Como todos los primeros cuadrados presentan la particularidad de que todos sus números terminan en uno, podemos generar a partir de estos otros cuadrados alfamágicos cambiando solamente el último dígito de cada uno de los números (Teniendo en cuenta que el largo de uno=dos, tres = seis = ocho, cinco = siete = nueve) Otra forma de generar mas cuadrados alfamágicos a partir de una solución es sumar a cada uno de los números múltiplos de por ejemplo un millón que suman la misma cantidad de letras a cada número. Al final doy unos ejemplos
Aquí van otros ejemplos de cuadrados alfamágicos que tanto el primer como el segundo cuadrado tienen números distintos en español:
A)


95
Noventa y cinco
156
Ciento cincuenta y seis
124
Ciento veinticuatro
154
Ciento cincuenta y cuatro
125
Ciento veinticinco
93
Noventa y seis
126
Ciento veintiséis
94
Noventa y cuatro
155
Ciento cincuenta y cinco


13
20
18
22
17
12
16
14
21
------------------------------------------------------------------------------------------------------------


153
Ciento cincuenta y tres
91
Noventa y uno
125
Ciento veinticinco
95
Noventa y cinco
123
Ciento veintitrés
151
Ciento cincuenta y uno
121
Ciento veintiuno
155
Ciento cincuenta y cinco
93
Noventa y tres



20
11
17
 13
16
19
 15
21
12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

255
Doscientos cincuenta y cinco
94
Noventa y cuatro
176
Ciento setenta y seis
96
Noventa y seis
175
Ciento setenta y cinco
254
Doscientos cincuenta y cuatro
174
Ciento setenta y cuatro
256
Doscientos cincuenta y seis
95
Noventa y cinco



25
14
18
 12
19
26
 20
24
13
------------------------------------------------------------------------------------------------------------



225
Doscientos cincuenta y cinco
74
Setenta y cuatro
166
Ciento sesenta y seis
76
Setenta y seis
165
Ciento sesenta y cinco
254
Doscientos cincuenta y cuatro
164
Ciento sesenta y cuatro
256
Doscientos cincuenta y seis
75
Setenta y cinco



25
14
18
 12
19
26
 20
24
13
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

275
Doscientos setenta y cinco
54
Cincuenta y cuatro
166
Ciento sesenta y seis
56
Cincuenta y seis
165
Ciento sesenta y cinco
274
Doscientos setenta y cuatro
164
Ciento sesenta y cuatro
276
Doscientos setenta y seis
55
Cincuenta y cinco



23
16
18
 14
19
24
 20
22
15
------------------------------------------------------------------------------------------------------------


295
Doscientos noventa y cinco
54
Cincuenta y cuatro
176
Ciento setenta y seis
56
Cincuenta y seis
175
Ciento setenta y cinco
294
Doscientos noventa y cuatro
174
Ciento setenta y cuatro
296
Doscientos noventa y seis
55
Cincuenta y cinco
 
 

23
16
18
 14
19
24
 20
22
15

Cuadrados alfamágicos múltiples:
Una idea interesante es buscar un cuadrado alfamágico en el que el segundo cuadrado genere al tomar la cantidad de letras de los nombres de sus números otro cuadrado mágico.
Por ahora lo único que pude obtener de este tipo son los siguientes ejemplos en los que el segundo cuadrado no tiene todas las cifras distintas
Primer cuadrado:



347
Trescientos cuarenta y siete
225
Doscientos veinticinco
289
Doscientos ochenta y nueve
229
Doscientos veintinueve
287
Doscientos ochenta y siete
345
Trescientos cuarenta y cinco
285
Doscientos ochenta y cinco
349
Trescientos cuarenta y nueve
227
Doscientos veintisiete

Segundo cuadrado


25
Veinticinco
21
Veintiuno
23
Veintitrés
21
Veintiuno
23
Veintitrés
25
Veinticinco
23
Veintitrés
25
Veinticinco
21
Veintiuno

Tercer cuadrado


 11
9
10
 9
10
11
 10
11
9
-----------------------------------------------------
Primer Cuadrado



847
Ochocientos cuarenta y siete
225
Doscientos veinticinco
539
Quinientos treinta y nueve
229
Doscientos veintinueve
537
Quinientos treinta y siete
845
Ochocientos cuarenta y cinco
535
Quinientos treinta y cinco
849
Ochocientos cuarenta y nueve
227
Doscientos veintisiete

Segundo cuadrado


25
veinticinco
21
veintiuno
23
veintitrés
21
veintiuno
23
veintitrés
25
veinticinco
23
veintitrés
25
veinticinco
21
veintiuno

Tercer cuadrado


11
9
10
 9
10
11
 10
11
9

 Primer cuadrado


460
Cuatrocientos sesenta
234
Doscientos treinta y cuatro
392
Trescientos noventa y dos
294
Doscientos noventa y cuatro
362
Trescientos sesenta y dos
430
Cuatrocientos treinta
332
Trescientos treinta y dos
490
Cuatrocientos noventa
264
Doscientos sesenta y cuatro

Segundo cuadrado

20
veinte
24
veinticuatro
22
veintidós
24
veinticuatro
22
veintidós
20
veinte
22
veintidós
20
veinte
24
veinticuatro

Tercer cuadrado


6
12
9
 12
9
6
 9
6
12

Estos últimos ejemplos son de cuadrados alfamágicos en los cuales el segundo cuadro tiene números que tienen todos la misma cantidad de letras :


97
Noventa y siete
75
Setenta y cinco
89
Ochenta y nueve
79
Setenta y nueve
87
Ochenta y siete
95
Noventa y cinco
85
Ochenta y cinco
99
Noventa y nueve
77
Setenta y siete



13
13
13
 13
13
13
 13
13
13

y


87
Ochenta y siete
65
Sesenta y cinco
79
Setenta y nueve
69
Sesenta y nueve
77
Setenta y siete
85
Ochenta y cinco
75
Setenta y cinco
89
Ochenta y nueve
67
Sesenta y siete



13
13
13
 13
13
13
 13
13
13

y



97
Noventa y siete
35
Treinta y cinco
69
Sesenta y nueve
39
Treinta y nueve
67
Sesenta y siete
95
Noventa y cinco
65
Sesenta y cinco
99
Noventa y nueve
37
Treinta y siete


 13
13
13
 13
13
13
 13
13
13

En los siguientes ejemplos vemos como a partir de un cuadrado alfamágico cuyo segundo cuadrado tiene todas cifras iguales podemos generar cientos de nuevos cuadrados sumándole a cada número un múltiplo de 1000 . :


735
Setecientos treinta y cinco
879
Ochocientos setenta y nueve
897
Ochocientos noventa y siete
999
Novecientos noventa y nueve
837
Ochocientos treinta y siete
675
Seiscientos setenta y cinco
777
Setecientos setenta y siete
795
Setecientos noventa y cinco
939
Novecientos treinta y nueve



24
24
24
 24
24
24
 24
24
24

Mas 1000 (Mil = largo 3 )


1735
Mil setecientos treinta y cinco
1879
Mil ochocientos setenta y nueve
1897
Mil ochocientos noventa y siete
1999
Mil novecientos noventa y nueve
1837
Mil ochocientos treinta y siete
1675
Mil seiscientos setenta y cinco
1777
Mil setecientos setenta y siete
1795
Mil setecientos noventa y cinco
1939
Mil novecientos treinta y nueve



27
27
27
 27
27
27
 27
27
27

Mas dos mil (largo 6 ) 


2735
Dos mil setecientos treinta y cinco
2879
Dos mil ochocientos setenta y nueve
2897
Dos mil ochocientos noventa y siete
2999
Dos mil novecientos noventa y nueve
2837
Dos mil ochocientos treinta y siete
2675
Dos mil seiscientos setenta y cinco
2777
Dos mil setecientos setenta y siete
2795
Dos mil setecientos noventa y cinco
2939
Dos mil novecientos treinta y nueve



30
30
30
 30
30
30
 30
30
30

Mas tres mil (largo = 7 )


3735
Tres mil setecientos treinta y cinco
3879
Tres mil ochocientos setenta y nueve
3897
Tres mil ochocientos noventa y siete
3999
Tres mil novecientos noventa y nueve
3837
Tres mil ochocientos treinta y siete
3675
Tres mil seiscientos setenta y cinco
3777
Tres mil setecientos setenta y siete
3795
Tres mil setecientos noventa y cinco
3939
Tres mil novecientos treinta y nueve



31
31
31
 31
31
31
 31
31
31

Y así sucesivamente.
Se aceptan nuevos cuadrados alfamagicos,,,